• 奇妙的数字“9”

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        将循环小数化成分数,是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢?这要请我们的老朋友--9来帮助解决问题。我们知道,在数列计算中,有一个无穷等比数列的求和公式:S=。其中a是这个数 1-q列的第一项,q是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数:0.6666……=0.6,0.242424……=0.24。它们都是从小数点后的第一位开始循环的,叫做纯循环小数。为了便于计算,先将它们写成分数的和的形式:

        0.666……=0.6+0.06+0.006……

        =10100100010000+Λ 6+6+6+6Λ

        0.242424……=0.24+0.0024+0.000024……=100100001000000+Λ24+24+24Λ

        这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0.6666……的公比是10,而0.242424……的公比是100。根据求和公式得:

        由此可以看出,要把纯循环小数化为分数,只要把一个循环节的数字化为分子,让分母由9组成,循环节有几位数字,分母是几个9就行了。    下面再来看看以下两个循环小数:

        0.2888……=0.28,0.3545454ΛΛ=0.354它们都不是从小数点后的第一

        从小数点后的第一位开始循环,这叫混循环小数。用分数的和可表示为:

        0.28888=ΛΛ10100100010000+Λ +++Λ

        0.35454ΛΛ=354++54

        这种和的形式,从第二项起,构成了一个分别以10、100为公比的无穷递缩等比数列。由求和公式得:

        由此可以看出:把混循小数化为分数,先去掉小数点,再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字,将得到的差作为分子;分母由9和0组成,9的个数等于一个循环节的位数,9的后面写0,0的个数等于循环部分的位数。例如:

        数学的变化虽是无穷的,在研究了大量的现象或大量的例题后,应学会从特殊的问题中,善于总结出一般规律的思考方法。

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