• 部分也能等于整体吗

  • 部分也能等于整体吗


        部分也能等于整体吗
        在一个大盒子里,装着黑白两种颜色的许多围棋棋子,怎么才能知道哪种颜色的棋子多一些呢? 一种办法是分别数出它们的个数,进行比较;另一种办法是,每次同时取出一黑一白两种棋子,一直取下去,如果最后只剩下某种颜色的棋子,就说明这种颜色的棋子多,如果刚好取完,就说明两种颜色的一样多。
        但是,假如那个大盒子里装着无穷多个棋子,那就没有办法把两种颜色的棋子分别数出个数来、再比较多少了,因为,至少有一种颜色的棋子是无穷多的。但是后一种办法却仍然可以使用:如果取了若干次之后,盒子里只剩下某一种颜色的棋子,就可知道这种颜色的棋子多,而且是多得多了。如果拿出一个黑的,总能再拿出一个白的;拿出一个白的,也总能再拿出一个黑的,就说明它们是同样多的。
        整体大于部分,这是一条古老而又令人感到无可置疑的真理。把一个苹果切成三块,原来的整个苹果当然大于切开后的任何一块。但这仅仅是对数量有限的物品而言的。17世纪的大科学家伽利略发现,当涉及到无穷多个物品时,情况可就大不一样了。
        比如有人问你:整数和偶数哪一种数多呢?也许你会认为:当然是整数比偶数多,而且是多一倍。如果从1 数到100,那么就有100个整数,而其中只有50个偶数。那要是无穷多个整数和偶数呢?我们可以用“一一对应”的方法来比较一下:
        ……-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6……
        ……-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12……
        对于每一个整数,我们可以找到一个偶数和它对应,反过来对于每一个偶数我们又一定可以找到一个整数和它对应,这就是整数和偶数是一一对应的,也就是说整数和偶数是一样多的。
        为什么会得出这样的结论呢?这是因为我们现在讨论的整数和偶数是无限多的,在无限的情况下,整体可能等于部分。
        在这一思想的启发下,19世纪后期德国数学家康托尔创立了集合论。它揭示出:部分可以和整体之间建立一一对应关系,这正是含有无穷多个元素的集合的本质属性之一。它也告诉人们:不要随便地把在有限的情形下得到的定理应用到无限的情形中去。

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